Article Annexe II

Ce programme met en relief une distinction entre les prérequis, qui constituent des connaissances préalables nécessaires, mais sur lesquelles ne pourront porter en exclusivité les problèmes ou exercices, et les domaines sur lesquels la connaissance et les compétences seront testées principalement. PRÉREQUIS DOMAINES DE COMPÉTENCES À ÉVALUER I. - Algèbre Le corps de base est celui des réels R ou celui des nombres complexes C. A. - Espaces vectoriels, applications linéaires Le corps de base est R ou C : Caractérisations de l'injectivité ou de la surjectivité (en dimension finie ou non). Conservation ou non du caractère libre ou génératrice d'une famille de vecteurs par transformation linéaire. B. - Calcul matriciel Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; matrice transposée. Matrices carrées d'ordre n ; groupe des matrices inversibles, caractérisations de l'inversibilité. C. - Valeurs propres et vecteurs propres Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d'un endomorphisme (ou d'une matrice carrée). L'existence d'une valeur propre est admise dans le cas où le corps de base est C (et espace de dimension finie). D. - Algèbre bilinéaire (corps de base R) Forme bilinéaire, bilinéaire symétrique. II. - Analyse A. - Suites de nombres réels Enoncé des propriétés du corps des réels R (admises). Suites monotones. Théorème de la limite monotone. B. - Séries numériques Convergence d'une série. Somme partielle d'ordre n. Reste d'ordre n et somme d'une série convergente. C. - Continuité et dérivation Fonctions numériques d'une variable réelle : notion de limite, unicité. Opérations sur les limites, théorèmes d'encadrement. Inégalités sur les limites. Caractérisation séquentielle. Propriétés des fonctions continues sur un intervalle fermé borné (segment) : théorème des valeurs intermédiaires, uniforme continuité. D. - Fonctions usuelles Fonctions polynômes, fonctions rationnelles (leur construction formelle n'est pas au programme). Degré d'un polynôme. Zéros (ou racines) d'un polynôme. E. - Intégration sur un segment Intégration des fonctions en escaliers, puis continues par morceaux. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle quelconque et lien avec l'intégrale fonction de sa borne supérieure. F. - Intégration sur un intervalle quelconque Intégrabilité d'une fonction continue ou continue par morceaux sur un intervalle quelconque, notion d'intégrale. G. - Suites et séries de fonctions Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions ; exemples et contre-exemples. H. - Fonctions de plusieurs variables (introduction) Aucune difficulté théorique n'est soulevée dans ce paragraphe ; les notions introduites ont principalement pour but d'être appliquées et mises en œuvre dans le programme de statistique. Fonctions numériques de plusieurs variables réelles, dérivées partielles premières. Gradient. III. - Probabilités et statistiques A. - Probabilités Permutations, arrangements, combinaisons (sans répétition). Formule du binôme de Newton, triangle de Pascal. Variables aléatoires unidimensionnelles : loi d'une variable aléatoire discrète, densité d'une variable aléatoire continue, fonction de répartition, moments, quantiles. Inégalités de Bienaymé-Tchébychev, de Markov. B. - Statistique descriptive Généralités : unités statistiques et variables ; variables qualitatives, ordonnées, quantitatives. Distributions univariées : définitions et représentations usuelles. Indicateurs de position (moyenne, médiane), dispersion (écart-type, variance), concentration (courbe de Lorenz, indice de Gini, quantiles). C. - Statistique inférentielle Notions de modélisation et d'estimateurs. Comparaison d'estimateurs : biais, précision, erreur quadratique moyenne, convergence.